W 1907 roku angielski matematyk i twórca zagadek logicznych Henry Ernest Dudeney przedstawił jedno z najbardziej znanych wyzwań geometrycznych. Zapytał: czy można podzielić trójkąt równoboczny na jak najmniejszą liczbę części, które po przekształceniu utworzą idealny kwadrat? Po zaledwie czterech tygodniach zaprezentował swoje rozwiązanie – cztery kawałki, które można ułożyć w kwadrat bez konieczności ich obracania.
Czytaj też: To matematyka steruje biologią! Coraz bliżej odkrycia największej tajemnicy życia
Problem ten stał się klasycznym przykładem tzw. rozcięcia geometrycznego, czyli procesu podziału jednej figury geometrycznej na kilka części, które można złożyć w inną figurę. Od stuleci badacze i pasjonaci matematyki starali się minimalizować liczbę wymaganych części, co ma nie tylko teoretyczne znaczenie, ale znajduje również zastosowanie w inżynierii, projektowaniu tekstyliów i optymalizacji produkcji materiałowej.
Przez ponad 120 lat nurtowało jedno pytanie: czy istnieje sposób, by wykonać tę transformację przy użyciu trzech lub mniejszej liczby kawałków? Prof. Ryuhei Uehara i adiunkt Tonan Kamata z Japan Advanced Institute of Science and Technology (JAIST), wraz z profesorem Erikiem D. Demaine z Massachusetts Institute of Technology (MIT), wykazali, że rozwiązanie Dudeneya jest rzeczywiście optymalne. Szczegóły opisano w pracy opublikowanej w serwisie preprintów arXiv.
Prof. Ryuhei Uehara mówi:
Ponad sto lat później ostatecznie rozwiązaliśmy zagadkę Dudeneya, dowodząc, że trójkąt równoboczny i kwadrat nie mają wspólnego rozcięcia przy użyciu trzech lub mniejszej liczby części.
Rozcięcie Dudeneya optymalne – mamy potwierdzenie
Aby potwierdzić optymalność czteroelementowego rozwiązania Dudeneya, naukowcy zastosowali nowatorską metodę dowodzenia, opartą na tzw. diagramach dopasowania. Najpierw przeanalizowali geometrię problemu, wykluczając możliwość podziału na dwie części – ograniczenia geometryczne sprawiają, że żadna para kawałków nie może stworzyć poprawnego przekształcenia. Następnie zbadali wszystkie teoretycznie możliwe sposoby podziału trójkąta na trzy części, eliminując kolejne opcje za pomocą fundamentalnych zasad rozcięć geometrycznych.
Czytaj też: Alan Turing i nasiona chia. Nowy eksperyment przetestował twierdzenia słynnego matematyka
Kluczowe znaczenie miało wykorzystanie diagramu dopasowania, który pozwolił zredukować układ podzielonych części do struktury grafowej, odwzorowującej zależności między krawędziami i wierzchołkami figur. W ten sposób badacze wykazali, że żadne z potencjalnych trójczęściowych rozcięć nie spełnia warunków transformacji.
Technika dopasowania, która okazała się kluczowa w dowodzie, może mieć szerokie zastosowanie nie tylko w matematyce teoretycznej, ale także w praktycznych problemach związanych z cięciem i układaniem materiałów.
Prof. Ryuhei Uehara tłumaczy:
Problem cięcia i przekształcania kształtów istnieje prawdopodobnie od czasów, gdy ludzie zaczęli obrabiać skóry zwierząt w celu produkcji odzieży. Podobne problemy występują wszędzie tam, gdzie używa się cienkich materiałów i konieczna jest ich optymalizacja.
Choć wiele zagadnień dotyczących rozcięć zostało rozwiązanych przez znalezienie konkretnych metod podziału, dotychczas brakowało formalnych dowodów na optymalność tych rozwiązań. Metoda opracowana przez badaczy z JAIST i MIT jest pierwszą, która nie tylko potwierdza poprawność rozwiązania, ale również wykazuje, że żadna inna metoda nie może go przewyższyć pod względem minimalnej liczby kawałków.
Prof. Ryuhei Uehara podsumowuje:
Nasza technika dowodzi, że optymalne rozcięcia mogą mieć rzeczywiste zastosowanie w problemach związanych z cięciem i składaniem materiałów. W przyszłości może ona prowadzić do odkrycia zupełnie nowych rozwiązań dla problemów rozcięć.
Badania japońskich i amerykańskich naukowców raz na zawsze zamykają debatę dotyczącą rozcięcia Dudeneya. Po ponad wieku spekulacji i prób znalezienia lepszego rozwiązania, matematyka dostarczyła jednoznacznego dowodu – podział trójkąta na cztery części i ich przekształcenie w kwadrat to rozwiązanie optymalne i niemożliwe do poprawienia. Więcej o transformacjach matematycznych można przeczytać na stronie AGH.