A w zasadzie rycinę w formie graffiti zostawionego na ścianie znajdującej się niedaleko Kanału Królewskiego w Dublinie. Nie chodziło jednak o chuligański wybryk, lecz istne oświecenie, jakiego mężczyzna doznał w czasie spaceru. Jak wyglądało to, co pozostawił na ścianie z użyciem scyzoryka? Chodziło o pozornie zwykłe równanie mające postać: i² = j² = k² = ijk = –1
Czytaj też: Nowe dowody wskazują na konieczność rewizji teorii dotyczących formowania się Układu Słonecznego
Jednym z celów, do których dążył Hamilton, było jak najskuteczniejsze przedstawianie związku między różnymi kierunkami w przestrzeni trójwymiarowej. Aspekt ten odgrywa istotną rolę w opisie sił i prędkości, a Irlandczyk brał również pod uwagę obroty trójwymiarowe. Użycie współrzędnych w postaci x, y i z nie było niczym niezwykłym, ale już określenie ich zachowania wraz z obrotami danego obiektu stanowiło znacznie większe wyzwanie.
Hamilton chciał znaleźć na to skuteczny, a przede wszystkim łatwy do wdrożenia sposób. Skorzystał w tym celu z dokonań innych XIX-wiecznych matematyków i zwrócił uwagę na związek między liczbami zespolonymi a geometrią. Postanowił odwzorować go w trzech wymiarach. W jaki sposób? Zaczął od wyobrażenia sobie trójwymiarowej płaszczyzny zespolonej z drugą urojoną osią w kierunku liczby urojonej j, będącej ustawioną prostopadle do dwóch pozostałych osi.
Graffiti pozostawione przez Hamiltona stanowi pamiątkę po tym, jak stworzył równanie, z którego matematycy korzystają nawet współcześnie
Po czasie zrozumiał, że konieczne będzie zastosowanie czterowymiarowych liczb zespolonych z trzecią liczbą urojoną, którą oznaczył jako k. Taka czterowymiarowa przestrzeń zawierała oś k prostopadłą względem trzech pozostałych. Jej oznaczenie, czyli k, byłoby zdefiniowane jako k² = –1, a wszystko to przy założeniu, że: k = ij = –ji. W takich właśnie okolicznościach Hamilton zaproponował, że i² = j² = k² = ijk = –1
Nagłe oświecenie było dla niego tak ogromnym szokiem, że nie zamierzał o nim zapomnieć. Za pomocą scyzoryka wyrył na ścianie proponowane równanie, z pewnością wprawiając niejednego przechodnia w zdziwienie. Co ciekawe, rola Hamiltona w wielu współczesnych aspektach, które towarzyszą nam w codziennym życiu, jest tak ogromna, że każdego roku 16 października odbywa się spacer ku pamięci irlandzkiego matematyka.
Hamilton nazwał czterowymiarowe liczby kwaterionami, choć początkowo określano je też mianem czwarek Hamiltona. Jego zdaniem urojona część kwaternionu jest wektorem kodującym dwa rodzaje informacji jednocześnie, na przykład wielkość i kierunek wielkości przestrzennej, takiej jak siła czy prędkość. Z dokonań matematyka skorzystał po latach Oliver Heaviside, który zapoczątkował nowoczesną analizę wektorową. Dokonania z XIX wieku są teraz wykorzystywane między innymi w nawigowaniu marsjańskich łazików czy projektowaniu turbin wiatrowych.